Buchberger算法

Buchberger算法

Buchberger算法是一种用于计算多项式环上的Gröbner基的算法。它是由布赫伯格(Buchberger)于1965年提出的,被广泛应用于计算机代数系统中。

什么是Gröbner基?

Gröbner基是一个多项式集合,它具有一些特殊的性质。给定一个多项式环的理想,Gröbner基是该理想的一组生成元,可以用来描述该理想的结构和性质。Gröbner基可以用于求解多项式方程组、多项式最小表示和多项式最大公因式等问题。

Buchberger算法的原理

Buchberger算法的核心思想是通过不断迭代计算S-多项式(S-polynomial)来消去理想中的多项式。具体步骤如下:

  1. 输入:一个多项式环的理想$I=\langle f_1, f_2, \ldots, f_n\rangle$,其中$f_1, f_2, \ldots, f_n$是多项式。
  2. 初始化一个空的集合$G$,作为Gröbner基的候选集。
  3. 对于每一对$f_i, fj \in I$,计算它们的S-多项式$s{ij}=\frac{{\text{L}}(f_i)}{{\text{lt}}(f_i)}f_j - \frac{{\text{L}}(f_j)}{{\text{lt}}(f_j)}f_i$,其中$\text{L}(f)$是$f$的最低项,$\text{lt}(f)$是$f$的最高项。
  4. 如果$s{ij} \mod G \neq 0$,则将$s{ij}$添加到集合$G$中。
  5. 重复步骤3和步骤4,直到所有的S-多项式都被处理完毕。
  6. 返回集合$G$作为Gröbner基。

Buchberger算法的实现

Buchberger算法可以用于计算任意多项式环的Gröbner基。在实现算法时,我们需要定义多项式的最高项和最低项,以及多项式的相除和取模运算。这些操作可以通过多项式的表示和运算规则来实现。

以下是一个使用Python实现Buchberger算法的示例代码:

def buchberger_algorithm(polynomials):
    G = set(polynomials)  # 初始化Gröbner基
    while True:
        new_elements = set()
        for fi in G:
            for fj in G:
                if fi != fj:
                    sij = (fi.lt() * fj.lc() - fj.lt() * fi.lc()) / fi.lt().lc() * fj.lt().lc()  # 计算S-多项式
                    sij = sij.mod(G)  # 对S-多项式取模
                    if sij != 0:
                        new_elements.add(sij)
        if len(new_elements) == 0:
            break
        G.update(new_elements)  # 更新Gröbner基
    return G

结论

Buchberger算法是计算多项式环上Gröbner基的一种有效方法。它通过计算S-多项式来逐步消去多项式环中的多项式,从而得到Gröbner基。这个算法在计算机代数系统中被广泛使用,对于解决多项式方程组和多项式最小表示等问题具有重要的意义。

文章来源: https://www.vvcookie.com/118.html
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